他の業者さんでお墓を作ったのですが、新たに亡くなった方の名前のみ彫っていただくことはできますか

はい、可能です！

墓誌（名盤）とよばれる石に彫りますが、墓誌がない場合、竿（～家と彫ってある石）に彫る事もあります。